Plus petit multiple « carré » - Corrigé

Énoncé

1. Écrire la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre \(252\) .

2. Déterminer le plus petit carré non nul qui soit un multiple de \(252\) .

Solution

1. On a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}252&2\\ 126&2\\ 63&3\\ 21&3\\ 7&7\\ 1\end{array}\end{align*}\)  
donc \(252=2^2 \times 3^2 \times 7\) .

2. On a :  \(252=2^2 \times 3^2 \times 7=(2 \times 3)^2 \times 7\) qui n'est pas un carré.

Pour obtenir le plus petit carré non nul multiple de \(252\) , il suffit d'ajouter les facteurs manquants dans la décomposition de \(252\) en produit de facteurs premiers afin que toutes les puissances soient paires.
Ainsi, le plus petit carré non nul multiple de \(252\) est \((2 \times 3 \times 7)^2=1764\) .
En effet, raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe un carré non nul \(n=a^2\) multiple de \(252\) tel que \(n<1764\) .
Alors il existe \(k \in \mathbb{N}^\ast\) tel que  \(\begin{align*}n=252k\ \ \Longleftrightarrow \ \ a^2=2^2 \times 3^2 \times 7 \times k\end{align*}\)
donc par unicité de la décomposition en facteurs premiers, comme \(a^2\) contient deux fois chaque facteur intervenant dans la décomposition de \(a\) , on a nécessairement \(k=7k'\) avec \(k' \geqslant 1\) .

Or
\(\begin{align*}n<1\,764& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 252k<1\,764\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 252 \times 7k'<1\,764\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 1\,764k'<1\,764\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ k'<1\end{align*}\)  
ce qui est absurde, car \(k' \geqslant 1\) .